SIFAT-SIFAT LIMIT DAN CONTOH SOALNYA SERTA SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN LIMIT

 NAMA : TABITHA FRANSISCA R.N (35) XI IPS 3

19-01-21

Sifat-Sifat Limit Fungsi dan Contohnya

Dengan teorema limit pusat, maka didapatlah 8 sifat limit fungsi, Misalkan n bilangan bulat positif, f dan g fungsi-fungsi yang mempunyai limit di titik a, dan c suatu konstanta, berlaku, sebagai berikut :

1. lim _x →a c = c
2. lim _x →a  xⁿ = aⁿ
3. lim _x →a c f(x) = c lim _x →a f(x)
4. lim _x →a ( f(x) + g(x)) = lim _x →a f(x) + lim _x →a g(x)
5. lim _x →a ( f(x) x g(x)) = lim _x →a f(x) x lim _x →a g(x)
6. lim _x →a  f(x)/g(x) = (lim _x →a f(x))/(lim _x →a g(x))
7. lim _x →a  f(x)ⁿ = (lim _x →a f(x))ⁿ
8. lim _x →a ⁿ√ f(x) = ⁿ√lim _x →a f(x)

1. Contoh sifat lim _x →a c = c

Tentukan nilai lim _x →2 7 !!!!

Jawab :

Dik :

a = 2

c = 7

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a c = c, maka :

lim _x →2 7 = 7

Jadi nilai dari lim _x →2 7 adalah 7

2. Contoh sifat lim _x →a  xⁿ = aⁿ 

Tentukan nilai lim _x →2 x³ !!!

Jawab :

Dik :

a = 2

n = 3

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a xⁿ = aⁿ , maka :

lim _x →2 x³ = 2³

lim _x →2 x³ = 8

Jadi nilai dari lim _x →2 x³ adalah 8

3. Contoh sifat lim _x →a c f(x) = c lim _x →a f(x)

Tentukan nilai lim _x →2 4( x + 2 ) !!!

Jawab :

Dik :

a = 2 

c = 4

f(x) = ( x + 2 )

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a c f(x) = c lim _x →a f(x), maka :

lim _x →2 4( x + 2 ) = 4 (lim _x →2 ( 2 + 2 ))

lim _x →2 4( x + 2 ) = 4 (lim _x →2 4)

lim _x →2 4( x + 2 ) = 16

Jadi nilai lim _x →2 4( x + 2 ) adalah 16

4. Contoh sifat lim _x →a ( f(x) + g(x)) = lim _x →a f(x) + lim _x →a g(x) 

Tentukan nilai lim _x →2 ( x³ + x⁴) !!!!!

Jawab :

dik :

a = 2

f(x) = x³

g(x) = x⁴

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a ( f(x) + g(x)) = lim _x →a f(x) + lim _x →a g(x), maka :

lim _x →2 ( x³ + x⁴) = lim _x →2 x³ + lim _x →a x⁴

lim _x →2 ( x³ + x⁴) = 2³ + 2⁴

lim _x →2 ( x³ + x⁴) = 8  + 16

lim _x →2 ( x³ + x⁴) = 24

Jadi nilai lim _x →2 ( x³ + x⁴) adalah 24

5. Contoh sifat lim _x →a ( f(x) x g(x)) = lim _x →a f(x) x lim _x →a g(x)

Tentukan nilai lim _x →2 ( x³ . x⁴) !!!!!

Jawab :

dik :

a = 2

f(x) = x³

g(x) = x⁴

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a ( f(x) x g(x)) = lim _x →a f(x) x lim _x →a g(x), maka :

lim _x →2 ( x³ . x⁴) = lim _x →2 x³ . lim _x →2 x⁴

lim _x →2 ( x³ . x⁴) =  2³ . 2⁴

lim _x →2 ( x³ . x⁴) =  8 . 16

lim _x →2 ( x³ . x⁴) =  128

Jadi nilai dari lim _x →2 ( x³ . x⁴) adalah  128

6. Contoh sifat lim _x →a  f(x)/g(x) = (lim _x →a f(x))/(lim _x →a g(x))

Tentukan nilai lim _x →2 ( x⁴ / x³) !!!!!

Jawab :

dik :

a = 2

f(x) = x⁴

g(x) = x³

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim_x →a ( f(x)/g(x)) = (lim _x →a f(x))/(lim _x →a g(x)), maka :

lim _x →2 ( x⁴/x³) = (lim _x →2 x⁴)/(lim _x →2 x³)

lim _x →2 ( x⁴/x³) = 2⁴/2³

lim _x →2 ( x⁴/x³) = 16/8

lim _x →2 ( x⁴/x³) = 2

Jadi nilai dari lim _x →2 ( x⁴/x³) adalah 2

7. Contoh sifat lim _x →a  f(x)ⁿ = (lim _x →a f(x))ⁿ

Tentukan nilai lim _x →2 ( x⁴ + 1)² !!!!!

Jawab :

Dik :

a = 2

f(x) = x⁴ + 1

n = 2

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a  f(x)ⁿ = (lim _x →a f(x))ⁿ, Maka :

lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = (lim _x →2 x⁴ + 1)²

lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = (2⁴ + 1)²

lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = (16 + 1)²

lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = 17²

lim _x →2 ( x⁴ + 1)² = 289

Jadi nilai dari lim _x →2 ( x⁴ + 1)² adalah 289

8. Contoh sifat lim _x →a ⁿ√ f(x) = ⁿ√lim _x →a f(x)

Tentukan nilai lim _x →2²√x⁴ !!!!!

Jawab :

Dik :

a = 2

f(x) = x⁴

n = 2

Masukan semua hal yang diketahui ke dalam rumus lim _x →a ⁿ√ f(x) = ⁿ√lim _x →a f(x), maka :

lim _x →2²√x⁴ = ²√lim _x →2 x⁴

lim _x →2²√x⁴ = ²√2⁴

lim _x →2²√x⁴ = ²√¹⁶

lim _x →2²√x⁴ = 4

CONTOH SOAL 

1. Seekor lebah diamati sedang hinggap di tanah pada sebuah lapangan. Pada suatu saat, lebah tersebut diamati terbang membentuk sebuah lintasan parabola. Setelah terbang selama 1 menit, lebah tersebut telah mencapai ketinggian maksimum sehingga ia terbang datar setinggi 5 meter selama 1 menit. Pada menit berikutnya, lebah tersebut terbang menukik lurus ke tanah sampai mendarat kembali pada akhir menit ketiga.

Coba kamu modelkan fungsi lintasan lebah tersebut!

Petunjuk:

• Model umum kurva parabola adalah f(t) = at2 + bt + c, dengan a, b, c bilangan real.
• Model umum kurva linear adalah f(t) = mt + n dengan m, n bilangan real.

Amatilah model yang kamu peroleh. Tunjukkanlah pola lintasan terbang lebah tersebut?

Petunjuk:

Pilihlah strategi numerik untuk menunjukkan pendekatan, kemudian bandingkan kembali jawaban kamu dengan strategi yang lain.

dengan a, b, c, m, n bilangan real. Dari ilustrasi, diperoleh data sebagai berikut.Jadi, model fungsi lintasan lebah tersebut berdasarkan gambar di atas adalah:

Misalkan posisi awal lebah pada saat hinggap di tanah adalah posisi pada waktu t = 0 dengan ketinggian 0, disebut titik awal O(0,0),

Kemudian lebah terbang mencapai ketinggian maksimum 5 meter pada waktu t = 1 sampai t = 2, di titik A(1,5) dan B(2,5).

Pada akhir waktu t = 2, lebah kembali terbang menukik sampai hinggap kembali di tanah dengan ketinggian 0, di titik C(3,0).

Berdasarkan data tersebut, kita akan menentukan fungsi lintasan lebah, dengan langkah-langkah berikut.

1. Substitusi titik O(0,0) ke fungsi kuadrat f(t)= at2 + bt + c diperoleh c = 0.
2. Substitusi titik A(1,5) ke fungsi kuadrat f(t)= at2 + bt + c diperoleh a + b + c = 5, karena c = 0, maka a + b = 5.
3. Karena fungsi kuadrat mencapai maksimum pada saat t = 1 maka

Dengan mensubstitusi b = –2a ke a + b = 5 maka diperoleh a = –5 dan b = 10.atau 1 b = –2a.

4. Jadi, fungsi kuadrat tersebut adalah f(t) = –5t 2 + 10t.
5. Lebah tersebut terbang konstan pada ketinggian 5 maka fungsi lintasan tersebut adalah f(t) = 5.
6. Substitusi titik B(2,5) ke fungsi linear f(t) = mt + n, diperoleh 5 = 2m + n.

8 Substitusi titik C(3,0) ke fungsi linear f(t) = mt + n, diperoleh 0 = 3m + n atau n = –3m.

9. Dengan mensubstitusi n = –3m ke 5 = 2m + n maka diperoleh m = – 5 dan n = 15.
10. Fungsi linear yang dimaksud adalah f(t) = –5t + 15.

Dengan demikian, model fungsi lintasan l

Selanjutnya limit fungsi pada saat t = 1 dan t = 2 dapat dicermati pada tabel berikut.

Dari pengamatan pada tabel, dapat kita lihat bahwa y akan mendekati 5 pada saat t mendekati 1 dan y akan mendekati 5 pada saat t mendekati 2.

SOAL MENENTUKAN LIMIT FUNGSI ALJABAR

Soal No. 1
Tentukan hasil dari:

Pembahasan
Limit bentuk



diperoleh

Soal No. 2



Pembahasan
Limit aljabar bentuk



Substitusikan saja nilai x,

Berikutnya dilanjutkan dengan tipe metode turunan yaitu limit x menuju angka tertentu dimana jika disubstitusikan langsung mendapatkan hasil yang tak tentu.

Soal No. 3

Tentukan nilai dari

Pembahasan
Jika angka 2 kita substitusikan ke x, maka akan diperoleh hasil 0/0 (termasuk bentuk tak tentu), sehingga selesaikan dengan metode turunan saja.


Soal No. 4

Tentukan nilai dari

Pembahasan
Masih menggunakan turunan


Soal No. 5

Nilai

A. −1/4
B. −1/2
C. 1
D. 2
E. 4
(Soal Limit Fungsi Aljabar UN 2012)

Pembahasan
Bentuk 0/0 juga, ubah bentuk akarnya ke bentuk pangkat agar lebih mudah diturunkan seperti ini

Turunkan atas - bawah, kemudian masukkan angka 3 nya

Soal No. 6

Nilai dari



A. 16
B. 8
C. 4
D. -4
E. -8


Pembahasan
Bentuk 0/0 juga, dengan turunan:

atau dengan cara pemfaktoran:

Soal No. 7
Nilai



A. − 2/9
B. −1/8
C. −2/3
D. 1
E. 2
un matematika 2007

Pembahasan
Dengan substitusi langsung akan diperoleh bentuk 0/0.
Cara Pertama

Perkalian dengan sekawan dan pemfaktoran:



Cara Kedua

dengan turunan:

Catatan
Cara menurunkan


Ubah dulu bentuk akar jadi bentuk pangkat, kl akar pangkat dua itu sama saja dengan pangkat setengah, jadinya

Turunan dari 3 adalah nol, ga usah ditulis, lanjut turunan dari

dicari pakai turunan berantai namanya, prakteknya begini:
Pangkatnya taruh depan, terus pangkatnya dikurangi satu, terus  dikali dengan turunan dari fungsi yang ada dalam kurung. x² – 7 kalo diturunkan jadinya 2x –  0 atau 2x saja. Jadinya:

Contoh berikutnya limit x menuju tak berhingga dalam bentuk f(x)/g(x). Kesimpulan berikut digunakan pada tiga nomor berikutnya:



Soal No. 8

Tentukan nilai dari

Pembahasan
Limit x menuju ∞ dengan pangkat tertinggi yang sama, m = n



Soal No. 9

Tentukan nilai dari

Pembahasan
Limit x menuju ∞ dengan pangkat tertinggi dari pembilang lebih tinggi dari penyebutnya, m > n



Soal No. 10

Tentukan nilai dari

Pembahasan
Limit x menuju ∞ dengan pangkat tertinggi dari pembilang lebih rendah dari penyebutnya, m < n



Contoh berikutnya tipe soal limit → ∞ yang berbentuk "Selisih Akar Kuadrat".



Ini rumus yang nanti digunakan:



Kita terapkan pada soal berikut

Soal No. 11

Nilai dari

adalah...

A. 3/4
B. 4/5
C. 6/5
D. 5/4
E. 4/3
(Ebtanas 1992)

Pembahasan
Limit bentuk selisih akar kuadrat dimana
a = p
dengan b = 3 dan q = −5 sehingga tengok rumus di atas



Soal No. 12

Nilai dari

adalah...

A. − 39/10
B. − 9/10
C. −21/10
D. 39/10
E. ∞

Pembahasan
Langkah pertama ubah ke bentuk selisih akar seperti soal sebelumnya.



Soal No. 13

Nilai dari

adalah...

A. ∞
B. 8
C. 5/4
D. 1/2
E. 0

Pembahasan
Ubah ke bentuk selisih akar seperti  ini:



Soal No. 14

Nilai dari

adalah...

Pembahasan
Ubah ke bentuk selisih akar seperti soal sebelumnya.



Soal No. 15

Nilai dari

Pembahasan
Soal limit aljabar dengan bentuk selisih akar gunakan ketentuan berikut:



Limit selisih akar dengan a = c, sehingga hasilnya = 0

DAFTAR PUSTAKA

https://passinggrade.co.id/limit-fungsi/

https://matematikastudycenter.com/kelas-11-sma/121-limit-fungsi-aljabar

https://matematikaakuntansi.blogspot.com/2016/10/sifat-sifat-limit-fungsi-dan-contohnya.html?m=1