SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN TURUNAN

 NAMA : TABITHA FRANSISCA R.N

KELAS : XI IPS 3

NO. ABSEN 35

SOAL KONTEKSTUAL YANG BERHUBUNGAN DENGAN TURUNAN

Contoh Soal Pilihan Ganda dan Pembahasannya yang Berkaitan dengan Turunan dalam Kehidupan 

1. Seorang petani mempunyai kawat sepanjang 80 meter yang direncanakan untuk memagari kandang berbentuk tiga buah persegi panjang berdempet yang identik seperti diperlihatkan pada gambar berikut (Sisi di sepanjang gudang tidak memerlukan kawat). Luas maksimum kandang adalah ...

A.  360 m2
B.  400 m2
C.  420 m2
D.  450 m2
E.  480 m2

Pembahasan :

Misalkan panjang kandang p dan lebar kandang l.

Persamaan panjang kawat yang digunakan untuk memagari kandang :
p + 4l = 80   →  p = 80 - 4l

Persamaan luas kandang :
L = pl   
L = (80 - 4l)l   
L = 80l - 4l2

Turunan pertama L terhadap l :
L' = 80 - 8l

Luas akan maksimum jika L' = 0
80 - 8l = 0
80 = 8l
l = 10

Jadi, luas akan maksimum jika l = 10, dengan luas maksimumnya adalah
L = 80(10) - 4(10)2
L = 800 - 400
L = 400

2. Suatu perusahaan menghasilkan produk yang dapat diselesaikan dalam x jam dengan biaya per jam 

$\left(4x-800+\frac{120}{x}\right)$ ratus ribu rupiah. Agar biaya minimum, produk tersebut dapat diselesaikan dalam waktu...
A.  40 jam
B.  60 jam
C.  100 jam
D.  120 jam
E.  150 jam

Pembahasan :

Biaya per jam : 4x − 800 + $\frac{120}{x}$
Biaya untuk x jam :
B(x) = (4x − 800 + $\frac{120}{x}$)x
B(x) = 4x2 − 800x + 120

Biaya akan minimum jika :
B'(x) = 0
8x − 800 = 0
⇒ x = 100

Jadi, waktu yang diperlukan agar biaya minimum adalah 100 jam.

3. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan  dalam x hari dengan biaya 

$4x-160+\frac{2000}{x}$ ribu rupiah per hari. Biaya minimum per hari penyelesaian pekerjaan tersebut adalah...
A.  Rp 20.000,00
B.  Rp 200.000,00
C.  Rp 60.000,00
D.  Rp 600.000,00
E.  Rp 800.000,00

Pembahasan :

Biaya per hari : $\left(4x-160+\frac{2000}{x}\right)$

Biaya x hari :
B(x) = $\left(4x-160+\frac{2000}{x}\right)$x
B(x) = 4x2 − 160x + 2000

Biaya akan minimum jika :
B'(x) = 0
8x − 160 = 0
⇒ x = 20

Jadi, biaya akan minimum jika pekerjaan diselesaikan dalam 20 hari, dengan biaya minimum per hari
= 4x − 160 + $\frac{2000}{x}$
= 4(20) − 160 + $\frac{2000}{20}$
= 20  (ribuan rupiah)

4. Suatu perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya $\left(5x^2-10x+30\right)$ dalam ribuan rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga Rp 50.000,00 tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah...
A.  Rp10.000,00
B.  Rp20.000,00
C.  Rp30.000,00
D.  Rp40.000,00
E.  Rp50.000,00

Pembahasan :

Biaya produksi x unit : (5x2 − 10x + 30)x
Biaya penjualan x unit : 50x
(kedua biaya diatas dalam ribuan rupiah)

Keuntungan = Biaya penjualan − Biaya produksi
U(x) = 50x − (5x2 − 10x + 30)x
U(x) = 50x − 5x3 + 10x2 − 30x
U(x) = −5x3 + 10x2 + 20x

Keuntungan akan maksimum jika :
U'(x) = 0
−15x2 + 20x + 20 = 0 (bagi −5)
3x2 − 4x − 4 = 0
(3x + 2)(x − 2) = 0
x = $\frac{3}{2}$ atau x = 2

Jadi, keuntungan akan maksimum jika perusahaan memproduksi 2 unit barang, dengan keuntungan maksimumnya adalah :
U(2) = −5(2)3 + 10(2)2 + 20(2)

U(2) = −40 + 40 + 40

U(2) = 40  (dalam ribuan rupiah)

5. Suatu perusahaan menghasilkan x produk dengan biaya sebesar 

$\left(9.000+1.000x+10x^2\right)$ rupiah. Jika semua hasil produk perusahaan tersebut habis dijual dengan harga Rp5.000,00 untuk satu produknya, maka laba maksimum yang dapat diperoleh perusahan tersebut adalah...
A.  Rp149.000,00
B.  Rp249.000,00
C.  Rp391.000,00
D.  Rp609.000,00
E.  Rp757.000,00

Pembahasan :

Biaya produksi x produk : 9.000 + 1.000x + 10x2
Biaya penjualan x produk : 5.000x

Laba = Biaya penjualan − Biaya produksi
L(x) = 5.000x − (9.000 + 1.000x + 10x2)
L(x) = 5.000x − 9.000 − 1.000x − 10x2
L(x) = −10x2 + 4.000x − 9.000

Laba akan maksimum, jika :
L'(x) = 0
−20x + 4.000 = 0
⇒ x = 200

Jadi, laba akan maksimum jika perusahaan menghasilkan 200 produk, dengan laba maksimumnya adalah :
L(200) = −10(200)2 + 4.000(200) − 9.000
L(200) = −400.000 + 800.000 − 9.000
L(200) = 391.000

6. Sebidang tanah akan dibatasi oleh pagar dengan menggunakan kawat berduri seperti pada gambar. Batas tanah yang dibatasi pagar adalah yang tidak bertembok. Kawat yang tersedia 800 meter. Berapakah luas maksimum yang dapat dibatasi oleh pagar yang tersedia?

A.  80.000 m2
B.  40.000 m2
C.  20.000 m2
D.  5.000 m2
E.  2.000 m2

Pembahasan :

Misalkan panjang area tanah p dan lebar l
Area tanah yang akan dibatasi pagar adalah (p + 2l)

Perhatikan bentuk pagar, karena kawat yang digunakan 4 baris maka
4(p + 2l) = 800
p + 2l = 200
p = 200 − 2l

L = p × l
L = (200 − 2l) × l
L = 200l − 2l2

Luas akan maksimum jika :
L' = 0
200 − 4l = 0
⇒ l = 50

p = 200 − 2l
p = 200 − 2(50)
⇒ p = 100

L = p × l
L = 100 × 50
L = 5000

Jadi luas maksimum adalah 5000 m2

7. Sebuah akuarium tanpa tutup memiliki alas berbentuk persegi panjang dengan perbandingan panjang dan lebarnya 2 : 3. Jika luas permukaan akuarium adalah 1.800 cm2, volume maksimum akuarium tersebut adalah ...

A.  3.600 cm3
B.  5.400 cm3
C.  6.300 cm3
D.  7.200 cm3
E.  8.100 cm3

Pembahasan :

$\frac{p}{l}$ = $\frac{2}{3}$→   p = $\frac{2}{3}$l

Persamaan luas akuarium tanpa tutup :
pl + 2pt + 2lt = 1.800
($\frac{2}{3}$l)l + 2($\frac{2}{3}$l)t + 2lt = 1.800  (kali 3)
2l2 + 4lt + 6lt = 5400
2l2 + 10lt = 5400
10lt = 5400 - 2l2
t = $\frac{540}{l}$ - $\frac{1}{5}$l

Persamaan volume akuarium :
V = plt
V = $\frac{2}{3}$l . l . ($\frac{540}{l}$ - $\frac{1}{5}$l)
V = 360l - $\frac{2}{15}$l3

Turunan pertama V terhadap l :
V' = 360 - $\frac{6}{15}$l2

Volume akan maksimum jika V' = 0
360 - $\frac{6}{15}$l2 = 0
360 = $\frac{6}{15}$l2
l2 = 900
l = 30

Jadi, volume maksimum aquarium adalah
V = 360(30) - $\frac{2}{15}$(30)3
V = 10.800 - 3.600
V = 7.200