NILAI STASIONER, FUNGSI NAIK DAN FUNGSI TURUN DAN CONTOH SOALNYA
NAMA : TABITHA FRANSISCA R.N ( 35 )
KELAS : XI IPS 3
A. NILAI STASIONER
contoh soal
Soal 1
Nilai stasioner dari x₁³ + 3x₁.x₂ + x₂³ dicapai untuk a = .....
A. 1 dan 2
B. 1 dan 3
C. 2 dan 3
D. -1
E. 0, -1 dan 1
Pembahasan:
x² - (a -1)x + a = 0
a = 1, b = -(a - 1), c = a
x₁ + x₂ = -b/a = (a - 1)
x₁.x₂ = c/a = a
x₁³ + 3x₁.x₂ + x₂³ = x₁³+ x₂³+ 3x₁.x₂
= (x₁ + x₂)³ - 3x₁.x₂(x₁ + x₂) + 3x₁.x₂
= (a - 1)³ - 3a(a - 1) + 3a
= (a - 1)³ - 3a² + 6a
Stasioner <=> turunan pertama = 0
<=> 3(a - 1)² - 6a + 6 = 0
<=> (a - 1)² - 2a + 2 = 0
<=> a² - 2a +1 - 2a + 2 = 0
<=> a² - 4a + 3 = 0
<=> (a - 1)(a - 3) = 0
<=> a = 1 atau a = 3
(JAWABAN: B)
Soal 2
Fungsi y = 4x³ - 18x² + 15x - 20 mencapai maksimum untuk nilai x = .....
A. 0,5
B. 1,5
C. 2
D. 2,5
E. 3
Pembahasan:
y = 4x³ - 18x² + 15x - 20
Stasioner <=> y' = 0
y' = 12x² - 36x + 15 = 0
<=> 3(4x² - 9x + 5) = 0
<=> 3(2x - 1)(2x - 5) = 0
<=> x = ½ atau x = 5/2
Jadi, fungsi y mencapai maksimum untuk x = ½.
(JAWABAN: A)
(JAWABAN: A)
Soal 3
y = x³ -3x² -24x - 7 maka nilai stasionernya adalah .....
A. -2 dan 4
B. -35
C. 1
D. 21 dan -87
E. 1,21 dan -77
Pembahasan:
y = x³ -3x² -24x - 7
Stasioner <=> y' = 0
y' = 3x² - 6x - 24 = 0
<=> x² - 2x - 8 = 0
<=> (x - 4)(x + 2) = 0
<=> x = 4 atau x = -2
Fungsi maksimum pada x = -2,maka nilai balik maksimumnya:
f(-2) = (-2)³ -3(-2)² -24(-2) - 7
= -8 - 12 + 48 - 7
= 21
Fungsi minimum pada x = 4, maka nilai balik minimumnya:
f(4) = (4)³ -3(4)² -24(4) - 7
= 64 - 48 - 96 - 7
= -87
Jadi, nilai stasionernya adalah 21 dan -87.
(JAWABAN: D)
Soal 4
f(-2) = (-2)³ -3(-2)² -24(-2) - 7
= -8 - 12 + 48 - 7
= 21
Fungsi minimum pada x = 4, maka nilai balik minimumnya:
f(4) = (4)³ -3(4)² -24(4) - 7
= 64 - 48 - 96 - 7
= -87
Jadi, nilai stasionernya adalah 21 dan -87.
(JAWABAN: D)
Soal 4
Titik belok dari fungsi y = x³ + 6x² + 9x + 7 adalah .....
A. (-2,3)
B. (-2,7)
C. (-2,5)
D. (2,5)
E. (2,10)
Pembahasan:
y = x³ + 6x² + 9x + 7
y' = 3x² + 12x + 9
y" = 6x + 12
Titik belok <=> y" = 0
6x + 12 = 0
<=> 6x = -12
<=> x = -12/6
<=> x = -2
Subtitusi nilai x = -2 ke fungsi y.
y = (-2)³ + 6(-2)² + 9(-2) + 7
= -8 + 24 - 18 + 7
= 5
Jadi, titik belok dari fungsi y adalah (-2,5)
(JAWABAN: C)
Soal 5
Sebuah titik materi dengan persamaan s(t) = -(⅓)t³ + 3t² -5t (t = waktu, s = kedudukan). Titik materi ini mempunyai kecepatan tertinggi pada saat t = .....
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
Pembahasan:
s(t) = -(⅓)t³ + 3t² -5t
v(t) = s'(t)
v(t) = -t² + 6t - 5
v(t) maksimum untuk t = -b/2a = -6/-2 = 3.
(JAWABAN: C)
Soal 6
Sebuah pintu berbentuk seperti tergambar. Keliling pintu sama dengan p. Agar luas pintu maksimum, maka x sama dengan .....
A. B. p -
C.
D.
E.
Pembahasan:
Keliling = 2x + 2y + πx = p
<=> 2y = p - 2x - πx
Luas = 2xy + ½ πx²
= x(p - 2x - πx) + ½ πx²
= px - 2x² - πx² + ½ πx²
= px - 2x² - ½ πx²
Syarat Luas maksimum, L' = 0
L' = p - 4x - πx = 0
<=> p - (4 + π)x = 0
<=> x =−p−(4+π)
<=> x =p4+π
(JAWABAN: C)
Soal 7
Keliling = 2x + 2y + πx = p
<=> 2y = p - 2x - πx
Luas = 2xy + ½ πx²
= x(p - 2x - πx) + ½ πx²
= px - 2x² - πx² + ½ πx²
= px - 2x² - ½ πx²
Syarat Luas maksimum, L' = 0
L' = p - 4x - πx = 0
<=> p - (4 + π)x = 0
<=> x =
<=> x =
(JAWABAN: C)
Soal 7
Selisih dua bilangan adalah 4p. Nilai terkecil dari hasil perkalian kedua bilangan itu adalah .....
A. 6p²
B. 4p²
C. -2p²
D. -4p²
E. -5p²
Pembahasan:
Misalkan bilangan itu adalah x dan y, maka:
y - x = 4p atau y = 4p + x
K = xy = x(4p + x) = 4px + x²
4p + 2x = 0
<=> 2x = -4p
<=> x = -2p
Kmin = -2p(4p + (-2p))
= -2p(2p)
= -4p²
(JAWABAN: D)
B. CONTOH NAIK
contoh soal
soal 1
Grafik fungsi y = x2 + 4x + 1 naik pada interval...
A.x ≥ - 2
B. x > - 2
C. x ≤ - 2
D. x < - 2
E. x > 2
Pembahasan
Fungsi naik jika F1(x) > 0, sehingga kita turunkan fungsi y = x2 + 4x + 1
y1 = 2x + 4 > 0
2x > -4
x > - 2
Jawaban: B
soal 2
Fungsi y = 1/3 x3 - 3x2 + 8x + 5 akan naik pada interval...
A. - 2 < x < 4
B. 2 < x < 4
C. x < 2 atau x > 4
D. x < - 4 atau x < 2
E. x < -2 atau x > 4
Pembahasan
Syarat fungsi naik adalah F1(x) > 0 sehingga kita turunkan fungsi y pada soal diatas.
y1 = x2 - 6x + 8 > 0 (karena berbentuk kuadrat, kita faktorkan)
(x - 4) (x - 2) > 0
x = 4 atau x = 2 > 0
Periksa kapan x = 4 naik dan x = 2 naik.
x = 4 ( ganti x = 5 atau yang lebih besar dari 4 pada y1, kemudian lihat hasilnya, jika hasilnya > 0 maka fungsi naik setelah 4, jika < 0 berarti fungsi naik sebelum x = 4)
x = 4 maka y1 = 52 - 6 . 5 + 8 = 16 - 24 + 8 = 3 (> 0) berarti fungsi naik setelah x = 4 atau x > 4.
Periksa x = 2 (ganti x = 2 atau yang lebih besar dari 2 pada y1, kemudian lihat hasilnya, jika hasilnya > 0 maka fungsi naik setelah 2, jika < 0 berarti fungsi naik sebelum x = 2)
y1 = (3)2 - 6 . (3) + 8 = - 1 (< 0), berarti fungsi naik sebelum x = 2.
Jadi fungsi naik pada interval x < 2 atau x > 4
Jawaban: C
Nomor 3
Grafik fungsi y = x3 + 3x2 - 45 x turun pada interval...
A. - 5 < x < 3
B. - 3 < x < 5
C. x < - 5 atau x > 3
D. x < - 3 atau x > 5
E. x < 3 atau x > 5
Pembahasan
Syarat fungsi turun adalah F1(x) < 0 sehingga kita turunkan fungsi y pada soal diatas.
y1 = 3x2 + 6x - 45 < 0 atau 3(x2 + 2x - 15) (karena berbentuk kuadrat, kita faktorkan, 3 diabaikan saja)
(x - 3) (x + 5) < 0
x = 3 atau x = - 5 < 0
Periksa kapan x = 3 dan x = - 5 turun.
x = 3 ( ganti x = 2 atau yang lebih kecil dari 3 pada y1, kemudian lihat hasilnya, jika hasilnya < 0 maka fungsi turun sebelum x = 3, jika > 0 berarti fungsi turun setelah x = 3)
x = 2 maka y1 = 22 + 2 . 2 - 15 = 4 + 4 - 15 = - 7 (< 0) berarti fungsi turun sebelum x = 3 atau x < 3.
Periksa x = 5 (ganti x = - 6 atau yang lebih kecil dari - 5 pada y1, kemudian lihat hasilnya, jika hasilnya < 0 maka fungsi turun sebelum x = - 5, jika > 0 berarti fungsi turun setelah x = - 5)
y1 = (- 6)2 + 2 . (-6) - 15 = 9 (> 0), berarti fungsi turun setelah x = - 5 atau x > - 5.
Jadi fungsi turun pada interval - 5 < x < 3
Jawaban: A
Nomor 4
Nilai stasioner dari fungsi y = x3 - x2 - 8x diperoleh pada ...
A. x = 2 dan x = - 4/3
B. x = 4/3 dan x = 2
C. x = 4/3 dan x = - 2
D. x = 2/3 dan x = - 4
E. x = 4 dan x = - 2/3
Pembahasan
Syarat fungsi stasioner adalah F1(x) = 0, sehingga kita turunkan fungsi y pada soal diatas:
y1 = 3x2 - 2x - 8 = 0 (faktorkan)
(3x + 4) (x - 2) = 0
x = - 4/3 dan x = 2
Jawaban: A
soal 5
Grafik fungsi y = 1 / (x2 + 1) akan turun pada interval...
A. x < 0
B. x > 0
C. x < 2
D. x > 2
E. x < - 2
Pembahasan
Gunakan syaran fungsi turun F1(x) < 0, jadi kita turunkan fungsi y:
Misal:
U = 1 maka U1 = 0
V = x2 + 1 maka V1 = 2x
Jadi y1 = (U1 V - U . V1) / V2
y1 = (0 . x2 + 1 - 1 . 2x) / (x2 + 1)2
y1 = - 2x / (x2 + 1)2 < 0 (penyebut diabaikan saja)
- 2x < 0
x < 0
Jawaban: A
Grafik fungsi y = x2 + 4x + 1 naik pada interval...
A.x ≥ - 2
B. x > - 2
C. x ≤ - 2
D. x < - 2
E. x > 2
Pembahasan
Fungsi naik jika F1(x) > 0, sehingga kita turunkan fungsi y = x2 + 4x + 1
y1 = 2x + 4 > 0
2x > -4
x > - 2
Jawaban: B
soal 2
Fungsi y = 1/3 x3 - 3x2 + 8x + 5 akan naik pada interval...
A. - 2 < x < 4
B. 2 < x < 4
C. x < 2 atau x > 4
D. x < - 4 atau x < 2
E. x < -2 atau x > 4
Pembahasan
Syarat fungsi naik adalah F1(x) > 0 sehingga kita turunkan fungsi y pada soal diatas.
y1 = x2 - 6x + 8 > 0 (karena berbentuk kuadrat, kita faktorkan)
(x - 4) (x - 2) > 0
x = 4 atau x = 2 > 0
Periksa kapan x = 4 naik dan x = 2 naik.
x = 4 ( ganti x = 5 atau yang lebih besar dari 4 pada y1, kemudian lihat hasilnya, jika hasilnya > 0 maka fungsi naik setelah 4, jika < 0 berarti fungsi naik sebelum x = 4)
x = 4 maka y1 = 52 - 6 . 5 + 8 = 16 - 24 + 8 = 3 (> 0) berarti fungsi naik setelah x = 4 atau x > 4.
Periksa x = 2 (ganti x = 2 atau yang lebih besar dari 2 pada y1, kemudian lihat hasilnya, jika hasilnya > 0 maka fungsi naik setelah 2, jika < 0 berarti fungsi naik sebelum x = 2)
y1 = (3)2 - 6 . (3) + 8 = - 1 (< 0), berarti fungsi naik sebelum x = 2.
Jadi fungsi naik pada interval x < 2 atau x > 4
Jawaban: C
Nomor 3
Grafik fungsi y = x3 + 3x2 - 45 x turun pada interval...
A. - 5 < x < 3
B. - 3 < x < 5
C. x < - 5 atau x > 3
D. x < - 3 atau x > 5
E. x < 3 atau x > 5
Pembahasan
Syarat fungsi turun adalah F1(x) < 0 sehingga kita turunkan fungsi y pada soal diatas.
y1 = 3x2 + 6x - 45 < 0 atau 3(x2 + 2x - 15) (karena berbentuk kuadrat, kita faktorkan, 3 diabaikan saja)
(x - 3) (x + 5) < 0
x = 3 atau x = - 5 < 0
Periksa kapan x = 3 dan x = - 5 turun.
x = 3 ( ganti x = 2 atau yang lebih kecil dari 3 pada y1, kemudian lihat hasilnya, jika hasilnya < 0 maka fungsi turun sebelum x = 3, jika > 0 berarti fungsi turun setelah x = 3)
x = 2 maka y1 = 22 + 2 . 2 - 15 = 4 + 4 - 15 = - 7 (< 0) berarti fungsi turun sebelum x = 3 atau x < 3.
Periksa x = 5 (ganti x = - 6 atau yang lebih kecil dari - 5 pada y1, kemudian lihat hasilnya, jika hasilnya < 0 maka fungsi turun sebelum x = - 5, jika > 0 berarti fungsi turun setelah x = - 5)
y1 = (- 6)2 + 2 . (-6) - 15 = 9 (> 0), berarti fungsi turun setelah x = - 5 atau x > - 5.
Jadi fungsi turun pada interval - 5 < x < 3
Jawaban: A
Nomor 4
Nilai stasioner dari fungsi y = x3 - x2 - 8x diperoleh pada ...
A. x = 2 dan x = - 4/3
B. x = 4/3 dan x = 2
C. x = 4/3 dan x = - 2
D. x = 2/3 dan x = - 4
E. x = 4 dan x = - 2/3
Pembahasan
Syarat fungsi stasioner adalah F1(x) = 0, sehingga kita turunkan fungsi y pada soal diatas:
y1 = 3x2 - 2x - 8 = 0 (faktorkan)
(3x + 4) (x - 2) = 0
x = - 4/3 dan x = 2
Jawaban: A
soal 5
Grafik fungsi y = 1 / (x2 + 1) akan turun pada interval...
A. x < 0
B. x > 0
C. x < 2
D. x > 2
E. x < - 2
Pembahasan
Gunakan syaran fungsi turun F1(x) < 0, jadi kita turunkan fungsi y:
Misal:
U = 1 maka U1 = 0
V = x2 + 1 maka V1 = 2x
Jadi y1 = (U1 V - U . V1) / V2
y1 = (0 . x2 + 1 - 1 . 2x) / (x2 + 1)2
y1 = - 2x / (x2 + 1)2 < 0 (penyebut diabaikan saja)
- 2x < 0
x < 0
Jawaban: A
C. FUNGSI TURUNAN
contoh soal
soal 1
Apabila f(x) = x² - (1/x) + 1, maka f'(x) = . . . .
A. x - x² B. x + x² C. 2x - x-2 + 1 D. 2x - x2 - 1 E. 2x + x-2
Pembahasan:
f(x) = x2 - (1/x) + 1
= x2 - x-1 + 1
f'(x) = 2x -(-1)x-1-1
= 2x + x-2
(Jawaban : E)
soal 2
y = (x² + 1)(x³ - 1) maka y' adalah . . . . .
A. 5x³ B. 3x³ + 3x C. 2x⁴ - 2x D. x⁴ + x² - x E. 5x⁴ + 3x² - 2x
Pembahasan:
y = (x² + 1)(x³ - 1) = x⁵ + x³ - x² - 1
y' = 5x⁴ + 3x² - 2x -----> Jawaban: E
soal 3
Diketahui f(x) = 3x² - 5x + 2 dan g(x) = x² + 3x - 3. Jika h(x) = f(x) - 2g(x), maka h'(x)=...
A. 4x - 8 B. 4x - 2 C. 10x - 11 D. 2x - 11 E. 2x + 1
Pembahasan:
h(x) = f(x) - 2g(x)
= 3x² - 5x + 2 - 2(x² + 3x - 3)
= 3x² - 5x + 2 - 2x² - 6x + 6
= x² - 11x + 8
h'(x) = 2x - 11 -------> Jawaban: D
soal 4
Turunan pertama dari f(x) = (2 - 6x)³ adalah f'(x) = . . . . .
A. -18(2 - 6x)²
B. -½(2 - 6x)²
C. 3(2 - 6x)²
D. 18(2 - 6x)²
E. ½(2 - 6x)²
Pembahasan:
Misalnya: u(x) = 2 - 6x, maka u'(x) = -6
f(x) = (u(x))³
f'(x) = 3(u(x))² . u'(x)
= 3(2 - 6x)² . (-6)
= -18(2 - 6x)² --------> Jawaban: A
soal 5
Turunan dari y = (1 - x)² (2x + 3) adalah. . . . .
A. (1 - x)(3x + 2)
B. (x - 1)(3x + 2)
C. 2(1 + x)(3x + 2)
D. 2(x - 1)(3x + 2)
E. 2(1 - x)(3x + 2)
Pembahasan:
y = (1 - x)² (2x + 3)
Misalkan:
U = (1 - x)² maka U' = 2(1 - x).(-1) = -2(1 - x)
V = 2x + 3 maka V' = 2
y = U . V
y' = U'.V + U.V'
= -2(1 - x).(2x + 3) + (1 - x)².2
= -2(1 - x) [(2x + 3) - (1 - x)
= 2(x - 1)(3x + 2) --------> Jawaban: D
soal 6
Diketahui: F(x) = (3x - 1)/(1 + 2x), f(x) adalah turunan dari F(x), nilai dari f(2) = . . . . .
A. 1 B. 19/25 C. 23/25 D. 1/5 E. -19/25
Pembahasan:
F(x) = (3x - 1)/(1 + 2x)
Misalkan:
U = 3x - 1, maka U' = 3
V = 1 + 2x, maka V' = 2
f(x) = [U'V - UV'] / V²
= [3(1 + 2x) - (3x - 1).2] / (1 + 2x)²
= [ 3 + 6x - 6x + 2] / (1 + 2x)²
= 5 / (1 + 2x)²
f(2) = 5 / (1 + 2(2))²
= 5/25
= 1/5 -------------> Jawaban: D
DAFTAR PUSTAKA
http://ilmuku-duniaku14.blogspot.com/2018/07/soal-dan-pembahasan-menentukan-titik.html
http://ilmuku-duniaku14.blogspot.com/2016/11/soal-dan-pembahasan-turunan-fungsi.html
https://aseprespati.blogspot.com/2016/04/pembahasan-contoh-soal-fungsi-naik.html
Tidak ada komentar:
Posting Komentar